媒介変数で表される様々な曲線(1)

媒介変数表示を使うと、様々な曲線を表すことができます。ここでは、そのいくつかの例を考えてみましょう。

まず、ある円の円周上の点あるいは中心とある円周上の点を結ぶ半直線上に1点を取り、その円をすべらさず直線上を転がすとき、そのような点の媒介変数表示は

$\left\{ \begin{tabular}{l} $x=a t-b \sin t$\\ $y=a -b \cos t$\\ \end{tabular} \right.$ となります。 $a=1$ として、 $b$ の値を色々変えたときの点の軌跡を見てみましょう。

$b=1$ とすると、点の軌跡はサイクロイドという、カマボコのような形になることが分かります。

$b=0.5$ とすると、点の軌跡は $b=1$ のときと比べて、曲線の両端が少し曲がった形になることが分かります。

$b=1.5$ とすると、点の軌跡は上の2つと比べて、また少し異なった形になることが分かります。

今度は、円を直線上ではなく、別の円の外側におき、その円周上の点がどのような動き方をするか、考えてみましょう。そのような点の媒介変数表示は

$\left\{ \begin{tabular}{l} $x=(a+1) \cos t- \cos (a+1)t$\\ $y=(a+1) \sin t- \sin (a+1)t$\\ \end{tabular} \right.$ となります。ここで、 $a=1,2,3$ のときの点の軌跡を見てみましょう。

$a=1$ のときの点の軌跡はカージオイドという、ハートを横にしたような形になることが分かります。

$a=2$ のときの点の軌跡は数字の8のような形になることが分かります。

$a=3$ のときの点の軌跡は三つ葉のような形になることが分かります。

ある決まった円の外側に円をすべらさずに転がしたときの点の軌跡をエピサイクロイドと言います。

では、円の内側に円をすべらさずに転がしたときの点の軌跡はどうなるでしょうか。媒介変数表示は

$\left\{ \begin{tabular}{l} $x=(a-1) \cos t+ \cos (a-1)t$\\ $y=(a-1) \sin t- \sin (a-1)t$\\ \end{tabular} \right.$ となります。ここで、 $a=3,4$ のときの点の軌跡を見てみましょう。

$a=3$ のときの点の軌跡は正三角形の各辺をつぶしたような形になることが分かります。デルトイドと呼ぶこともあります。

$a=4$ のときの点の軌跡はアステロイド(星芒形)という有名な曲線になります。

この曲線の媒介変数表示は $\left\{ \begin{tabular}{l} $x=4\cos ^3t$\\ $y=4\sin ^3t$\\ \end{tabular} \right.$ という、シンプルな式になります。
上のデルトイドやサイクロイドのように、ある決まった円の内側に円をすべらさずに転がしたときの点の軌跡をハイポサイクロイドと言います。

これ以外にも、媒介変数表示で表される曲線には、様々な曲線があります。次の媒介変数で表される様々な曲線(2)では、リサージュ図形(リサージュ曲線)について、見てみましょう。

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