媒介変数で表される様々な曲線(2)
媒介変数表示で表される様々な曲線(1)では、
サイクロイドを中心とする図形を考えました。媒介変数表示で表される様々な曲線(2)では、
リサージュ図形について、考えてみます。
という式において、
や
の値を色々変えると、
様々な曲線を描くことができます。このような曲線をリサージュ図形(リサージュ曲線)と呼びます。
ここでは、と
を自然数として考えてみます。(この部分を有理数まで拡張すると、もっと様々な曲線を描くことが出来ます。)
まず、
とすると、点の軌跡はレムニスケートという蝶のような形になります。
下の2つの図は、
と
のときです。いずれも閉じた曲線になっていることが分かります。
では、リサージュ図形はつねに閉じた曲線となるのでしょうか。
下の2つの図は、
と
のときです。これらの場合は、いずれも閉じた曲線になっていません。
)
という媒介変数表示で表される曲線が、
閉じた曲線となるための条件は何でしょうか。その理由とともに考えてみましょう。
(c) 2012-2013 Kotaro Kaneko ; Last update 01-17-2013;
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