5種類の正多面体(1)

すべての面が合同な正多角形でできていて、それぞれの頂点に注目したとき、集まっている面の数が同じであるくぼみのない多面体を正多面体といいます。正多面体には、正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体の5つしかありません。Javaアプレットの1つであるLiveGraphics3Dで描かれた5種類の多面体を、実際に動かしてみて見てみましょう。


正四面体	正六面体

正八面体

正十二面体	正二十面体

[操作]
マウスの左のボタンをおしながらドラッグすると、そちらの方向に図形が回転します。
マウスの左のボタンをおしながらドラッグしたものを離すと、そちらの方向に図形が回転し続けます。
Shiftキーを押しながらマウスを上下方向に動かすと、立体がズームになったり、ワイドになったりします。
Shiftキーを押しながらマウスを左右方向に動かすと、立体が回転します。
Ctrlキーを押しながらマウスを上下方向に動かすと、立体を見るポイントが近くなったり遠くなったりします。
"s"のキーを押すと、立体が2つに分かれ、立体視をすることができます。
Homeキーで立体は元に戻ります。

正多面体は、正多角形の内角1個の大きさと頂点に集まる面の数の関係から、5種類しかないことが分かります。
まず、正三角形・正方形・正五角形・正六角形の1つの内角はそれぞれ60°,90°,108°,120°です。
そして、正多面体となるためには、1つの頂点に集まる面の数は3以上であり、なおかつそれらの面の内角の合計が360°より小さい角度である必要があります。
まず、正三角形の面でできる正多面体を考えると、
60°×3=180°
60°×4=240°
60°×5=300°
となるため、1つの頂点に集まる面の数として、3,4,5の場合が考えられ、それぞれ正四面体・正八面体・正二十面体となります。
次に、正方形の面でできる正多面体を考えると、
90°×3=270°
となり、1つの頂点に3つの面が集まる正多面体が考えられ、正六面体となります。
続いて、正五角形の面でできる正多面体を考えると、
108°×3=324°
となり、やはり1つの頂点に3つの面が集まる正多面体が考えられ、正十二面体となります。
そして正六角形の面でできる正多面体を考えようとすると、
120°×3=360°
となり、3つの内角の合計を考えた段階で、360°より小さい角度になりません。正七角形以降の多角形で考えても同様なことがいえることから、上にあげた5種類しか正多面体は存在しないことが分かります。

では、5つの正多面体は互いに関係がないのでしょうか？
5種類の正多面体(2)で考えて見ましょう。

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