5種類の正多面体(2)
5種類の正多面体(1)では、5種類の正多面体を紹介し、
正多面体が5種類しかない理由を考えました。今度は、5種類の正多面体にどんな関係があるかを調べてみましょう。
まず、5種類の正多面体の頂点・辺・面の数は下の表のようになっています。
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頂点の数
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辺の数
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面の数
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正四面体
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4
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6
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4
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正六面体
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8
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12
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6
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正八面体
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6
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12
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8
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正十二面体
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20
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30
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12
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正二十面体
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12
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30
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20
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これを見て何か気が付きませんか？
そうです。正六面体と正八面体の頂点の数と面の数が、正十二面体と正二十面体の頂点と面の数が、
ちょうど逆の関係になっています。(正六面体と正八面体と正十二面体と正二十面体の辺の数は
ともに等しくなっています。これは頂点の数と面の数から辺の数を引くと2になるというオイラーの多面体公式
があり、これら2組の頂点の数と面の数が逆の関係にあってその和が等しいことから、辺の数が等しくなることが
分かります。)
これら2組の多面体の関係を双対(そうつい)または双対多面体といいます。
下の図は、正六面体の面の中心(重心)をとって隣り合う面どうしを辺でつなぐと正八面体ができることを、
正二十面体の面の中心をとって隣り合う面どうしを辺でつなぐと正十二面体ができることを、示した図です。
では、1つだけ残った正四面体はどうでしょうか？
実は、正四面体は正四面体の面の中心をとって同じように辺でつなぐと、正四面体ができるのです。
正四面体のように面の中心をとって辺でつないだときに、同じ図形ができるとき、これを自己双対といいます。
さらに、正十二面体の頂点から8個の頂点を適当に選び、辺でつなぐと、正六面体ができます。
正多面体はたった5種類しかないのに、とても奥が深いのです。
皆さんも、これ以外に正多面体に何か関係があるか、調べてみましょう。
(c) 2012 Kotaro Kaneko ; Last update 06-20-2012;
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